等比数列的递推公式等差数列和等比数列的递推公式

等差数列和等比数列的递推公式an:第n项 Sn：前n项和d：等差数列公差q：等比数列公比k：大于0,小于n的整数等差数列公式an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)*dak=...

等差数列和等比数列的递推公式

an:第n项 Sn：前n项和d：等差数列公差q：等比数列公比k：大于0,小于n的整数等差数列公式an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)*dak=an-(n-k)*dd=(an-ak)/(n-k)a(n+k)=(n*an-k*ak)/(n-k)a(n+m)=(n*an-m*am)/(n-m)Sn=n*(a1+an)/2=n*a1+(n*(n-1)/2)*dn+m=r+p => an+am=ar+apS(n+m)=(n+m)*(an+am)/2S(3m)=3*(S(2m)+Sm))等比数列公式an=a1*q^(n-1)=ak*q^(n-k)ak=an/q^(n-k)a1=an/q^(n-1)q=±(an/ak)^(n-k)=±(an/a1)^(n-1)a1*q^n=an*q=a(1+k)*q^(n-k)Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=q

等比数列求和公式内容归纳

等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的比值都相等。对于一个等比数列 a1、a2、a3……an，其公比为 q （q ≠ 0），则该数列后面的第 k 项为 ak = an * q^(k-n)。

等比数列求和公式如下：

- 当公比 q = 1 时，有 Sn = na1。

- 当公比 q ≠ 1 时，有 Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 -q)。

其中，Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。

等比数列求和公式的推导过程较为复杂，但是可以使用递推法等方法进行证明和计算。此外，需要注意的是，在应用等比数列求和公式时，需要确保数列为等比数列，并注意各个参数的取值范围和符号问题，避免出现错误和偏差。

数列的递推公式及周期性

线性齐次递推仅当特征方程有特征根满足x^k=1（k是任意整数）时有周期解，注意这里的根是复数。这要求它首先模为1，其次至少要是个代数数，第三幅角与2π的比例是个有理数。仅仅模为1是不够的，比如x^2-(1/π)x+1=0的根，不是代数数，因此也没有周期存在；再比如x^2-(1/2)x+1=0，根虽然是代数数，但幅角不满足条件，也没有周期性。

对于递推中的系数都是有理数的情况，设最高次数为n，那么可以尝试exp(i 2π/k)，其中k=1,2,...,n，如果都不是，那应该就没有周期解了。

最后，有周期解不代表实际的数列就有周期，还需要考虑初值和其他特征值的影响。如果有非周期的特征解（即有不满足条件的特征根），则解会分为周期和非周期两部分，只有非周期解的系数恰好为0时有周期性；如果所有特征解都是周期性的，但周期不同，则实际的最小正周期可能是其中的一个或多个的最大公约数。